Вопрос: Какие молитвы можно читать за больного Бней Ноах? Можно ли читать молитву аналогичную молитве Бишеберах – за больного еврея?

Да, на мой взгляд, можно читать такую же молитву мишеберах, как и за еврея. Доказательство этого можно видеть в стихах: «Авраам молился Богу» (Быт. 20,17), за Авимелеха, а также пророк Элиша молился о Наамане (II Царств гл. 5).